Crtež prikazuje tijelo mase m ovješeno o oprugu konstante 50 N/m. Oprugu rastegnemo za 5 cm i pustimo titrati pa ona titra periodom 2 s. [] a) Napišite jednadžbu titranja tijela y = f(t) ako se u trenutku t = 0 tijelo nalazilo u točki B te se gibalo prema točki A. b) Napišite jednadžbu titranja tijela y = f(t) ako se u trenutku t = 0 tijelo nalazilo u točki A. c) Napišite jednadžbu titranja tijela y = f(t) ako se u trenutku t = 0 tijelo nalazilo u točki C. d) U kojem je položaju brzina tijela najveća? e) U kojem je položaju akceleracija tijela najveća? f) U kojem je položaju kinetička energija tijela najveća? g) U kojem je položaju elastična potencijalna energija najveća? h) U kojem položaju je brzina tijela jednaka nuli? i) U kojem položaju je elastična sila na tijelo najmanja? j) Izračunajte ukupnu energiju ovoga oscilatora.


Točan odgovor


Halpa

prije 7 mjeseci

\mathrm{m}, \quad \mathrm{k}=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, \quad \mathrm{y}_{0}=5 \mathrm{~cm}=0.05 \mathrm{~m}, \quad \mathrm{~T}=2 \mathrm{~s}, \quad \mathrm{y}=?, \quad \mathrm{E}=? Titranje je gibanje kod kojega tijelo prolazi, gibajući se u dva suprotna smjera, stalno isti dio krivulje (najčešće kružnice) ili pravca. Položaj ravnoteže je položaj u kojem tijelo miruje. Kad tijelo titra, u tom je položaju najmanja potencijalna, a najveća kinetička energija. Zbroj tih dviju energija (zanemarivši gubitke) je stalan i jednak najvećoj potencijalnoj ili najvećoj kinetičkoj energiji. Harmoničko titranje nastaje djelovanjem elastične sile \mathrm{F}=-\mathrm{k} \cdot \mathrm{y} ili neke druge sile proporcionalne elongaciji. Pomak, elongacija ili udaljenost y od položaja ravnoteže materijalne točke koja harmonički titra, mijenja se s vremenom prema y=y_{0} \cdot \sin \frac{2 \pi \cdot t}{T} gdje je y elongacija, tj. udaljenost točke koja titra od položaja ravnoteže u bilo kojem trenutku, yo amplituda, tj. maksimalna elongacija i T vrijeme jednog titraja ili perioda. Ako materijalna točka ne počinje titrati iz položaja ravnoteže, elongacija y mijenja se s vremenom y=y_{0} \cdot \sin \left(\frac{2 \pi \cdot t}{T}+\varphi\right) gdje je \varphi početni fazni kut. Ako tijelo obješeno o elastičnu oprugu izvučemo iz položaja ravnoteže za neki pomak y i pustimo ga, ono će harmonički titrati. Za neko tijelo koje se giba poput tijela na opruzi, što uzrokuje sila upravo proporcionalna pomaku y, smjera suprotnoga pomaku, dakle F=-k \cdot y kažemo da harmonički titra. Slovom y označili smo elongaciju, tj. udaljenost točke koja titra od položaja ravnoteže u bilo kojem trenutku. Slovom y označili smo amplitudu, tj. maksimalnu elongaciju. Sila je najveća za y = yo. Tada je ukupna energija harmoničkog oscilatora jednaka E=\frac{1}{2} \cdot k \cdot y_{0}^{2} . Zakon očuvanja energije: - Energija se ne može ni stvoriti ni uništiti, već samo pretvoriti iz jednog oblika u drugi. - Ukupna energija zatvorenog (izoliranog) sustava konstantna je bez obzira na to koji se procesi zbivaju u tom sustavu. - Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast nekog drugog oblika energije. Drugi Newtonov zakon: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i sila. a=\frac{F}{m} \Rightarrow m=\frac{F}{a} a) Budući da se u trenutku \mathrm{t}=0 tijelo nalazi u točki \mathrm{B}, položaju ravnoteže, počinje titrati iz položaja ravnoteže pa jednadžba gibanja glasi: y=y_{0} \cdot \sin \frac{2 \cdot \pi \cdot t}{T}=0.05 m \cdot \sin \frac{2 \cdot \pi \cdot t}{2 s}=0.05 m \cdot \sin \frac{2 \cdot \pi \cdot t}{2 s}=0.05 m \cdot \sin (\pi \cdot t s-1) . b) Budući da se u trenutku \mathrm{t}=0 tijelo nalazi u točki A, maksimalno je udaljeno od ravnotežnog položaja u pozitivnom smjeru y osi pa mu je amplituda pozitivna. Početni fazni kut je \varphi=\frac{\pi}{2} i jednadžba gibanja glasi: \begin{aligned} &y=y_{0} \cdot \sin \left(\frac{2 \cdot \pi \cdot t}{T}+\varphi\right)=0.05 m \cdot\left(\sin \frac{2 \cdot \pi \cdot t}{2 s}+\frac{\pi}{2}\right)=0.05 m \cdot\left(\sin \frac{2 \cdot \pi \cdot t}{2 s}+\frac{\pi}{2}\right)= \\ &=0.05 m \cdot \sin \left(\pi \cdot t s^{-1}+\frac{\pi}{2}\right)=\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha\right]=0.05 m \cdot \cos \left(\pi \cdot t s^{-1}\right) . \end{aligned} C) Budući da se u trenutku \mathrm{t}=0 tijelo nalazi u točki \mathrm{C}, maksimalno je udaljeno od ravnotežnog položaja u negativnom smjeru y osi pa mu je amplituda negativna. Početni fazni kut je \varphi=-\frac{\pi}{2} i jednadžba gibanja glasi: \begin{aligned} &y=y_{0} \cdot \sin \left(\frac{2 \cdot \pi \cdot t}{T}+\varphi\right)=0.05 m \cdot\left(\sin \frac{2 \cdot \pi \cdot t}{2 s}-\frac{\pi}{2}\right)=0.05 m \cdot\left(\sin \frac{2 \cdot \pi \cdot t}{2 s}-\frac{\pi}{2}\right)= \\ &=0.05 m \cdot \sin \left(\pi \cdot t s^{-1}-\frac{\pi}{2}\right)=\left[\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos \alpha\right]=-0.05 m \cdot \cos \left(\pi \cdot t s^{-1}\right) . \end{aligned} d) Tijelo ima najveću kinetičku energiju kad prolijeće kroz ravnotežni položaj. U trenutku kad je tijelo u točki B (kada prolazi ravnotežnim položajem, y =0) ono ima maksimalnu brzinu E_{k}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\max }^{2} \Rightarrow v_{\max }=\sqrt{\frac{2 \cdot E_{k}}{m}} . e) Ako tijelo izvučemo za pomak y iz ravnotežnog položaja, opruga se također produlji za pomak y. Stoga djeluje elastična sila opruge F=-k \cdot y u smjeru suprotnom od pomaka y, tj. prema ravnotežnom položaju. Budući da na tijelo djeluje elastična sila F=-k \cdot y koja nije konstantna, za različite vrijednosti od y poprima različite vrijednosti. Iz drugog Newtonova poučka F=m \cdot a izlazi m \cdot a=-k \cdot y \Rightarrow m \cdot a=-k \cdot y / \cdot \frac{1}{m} \Rightarrow a=-\frac{k \cdot y}{m} pa zato i akceleracija ovisi o pomaku y. Akceleracija je, dakle, najveća u točkama A i \mathrm{Cada~je~tijelo~} maksimalno udaljeno od ravnotežnog položaja. f) Kinetička energija je najveća kada tijelo prolijeće kroz ravnotežni položaj, tj. kada je u točki B. U trenutku kad tijelo prolijeće kroz ravnotežni položaj, y =0, ono ima maksimalnu kinetičku energiju E_{k}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{\max }^{2} i elastičnu potencijalnu energiju E_{e p}=\frac{1}{2} \cdot k \cdot y^{2}=\frac{1}{2} \cdot k \cdot 0=0 . Elastična potencijalna energija jest nula jer je u tom trenutku pomak iz položaja ravnoteže jednak nuli. Kinetička energija tijela je najveća kada tijelo prolijeće kroz ravnotežni položaj, točku B. g) Tijelo ima najveću elastičnu potencijalnu energiju u krajnjim točkama A i C. Elastična potencijalna energija je maksimalna kada je tijelo u točkama A ili C jer je u tom trenutku pomak iz položaja ravnoteže najveći (amplituda y _{0} ) E_{e p}=\frac{1}{2} \cdot k \cdot y_{0}^{2} . h) Kada je tijelo maksimalno udaljeno od ravnotežnog položaja (točke A i C) ima kinetičku energiju E_{k}=0 J pa mu je brzina v=0 \frac{m}{s} i) Ako tijelo izvučemo za pomak y iz ravnotežnog položaja, opruga se također produlji za pomak y. Stoga djeluje elastična sila opruge F=-k \cdot y u smjeru suprotnom od pomaka y, tj. prema ravnotežnom položaju. Budući da na tijelo djeluje elastična sila F=-k \cdot y koja nije konstantna, za različite vrijednosti od y poprima različite vrijednosti. Iz drugog Newtonova poučka F=m \cdot a izlazi m \cdot a=-k \cdot y \Rightarrow m \cdot a=-k \cdot y / \cdot \frac{1}{m} \Rightarrow a=-\frac{k \cdot y}{m} pa zato i akceleracija ovisi o pomaku y. Elastična sila F=-k \cdot y na tijelo najmanja je u točki B jer je tada pomak tijela iz ravnotežnog položaja jednak nuli, y = 0 . Elastična sila jest nula jer je u tom trenutku pomak iz položaja ravnoteže jednak nuli. j) Po zakonu očuvanja energije zbroj kinetičke energije tijela i elastične potencijalne energije opruge je konstantan, \mathrm{tj}. \begin{gathered} E=E_{k}+E_{e p}=k o n s t . \\ E=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}+\frac{1}{2} \cdot k \cdot y^{2}=k o n s t . \end{gathered} Ako u posebnom slučaju za y odaberemo amplitudu y =y_{0}, dobivamo E_{e p}=\frac{1}{2} \cdot k \cdot y_{0}^{2} jer je u amplitudnom položaju brzina v tijela nula, v =0 . Ukupna energija harmonijskog oscilatora iznosi: E_{e p}=\frac{1}{2} \cdot k \cdot y_{0}^{2}=\frac{1}{2} \cdot 50 \frac{N}{m} \cdot(0.05 m)^{2}=0.0625 J Vježba 093 Tijelo je ovješeno o oprugu konstante 100 \mathrm{~N} / \mathrm{m} . Oprugu rastegnemo za 10 \mathrm{~cm} i pustimo titrati. Izračunajte ukupnu energiju oscilatora. Rezultat: 0.5 \mathrm{~J}.

Odgovorite

Kako biste odgovorili morate biti logirani

Slična pitanja

Crtež prikazuje tijelo mase m ovješeno o oprugu konstante 50 N/m. Oprugu rastegnemo za 5 cm i pustimo titrati pa ona titra periodom 2 s. [] a) Napišite jednadžbu titranja tijela y = f(t) ako s...
Crtež prikazuje sustav sastavljen od triju tijela. Zanemarite trenje s koloturom i rastezanje niti, a za akceleraciju sile teže uzmite vrijednost g = 10 m/s². Kolika je akceleracija sustava ako: ...
Crtež prikazuje graf ovisnosti brzine o vremenu za automobil (1) i kamion (2). Kakav je odnos prijeđenih putova tih dvaju vozila od trenutka t = 0 do trenutka t₁ ? []
Crtež prikazuje dio energijskih razina vodikova atoma. Koja od strjelica prikazuje emisiju fotona najkraće valne duljine? Zaokružite ispravan odgovor. []
Crtež prikazuje dio energijskih razina nekog atoma. Ako elektron skoči s energijske razine 2⋅ E na razinu E, emitira se foton valne duljine λ. Kada elektron skače s energijske razine $\frac{5 \cdot ...
Crtež prikazuje x-t graf pravocrtnoga gibanja učenice od škole do kuće. x označava položaj učenice (udaljenost učenice od škole). Učenica je stigla doma nakon 3 h. [] a) Pomak učenice za to v...
Koje metode odvajanja prikazuje jednostavni crtež?